Kurvendiskussion mit Mathematica

Kurvendiskussion

Bei der Kurvendiskussion geht es darum, eine mathematische Funktion zu untersuchen, d.h. das Verhalten zu beschreiben und interpretieren zu können. Dazu gibt es eine Menge von Eigenschaften, die von besonderem Interesse sind. Beispielsweise die Nullstellen oder die Extremwerte. Nachfolgend aufgeführte Eigenschaften verschaffen einen guten Überblick über eine Funktion:

• Definitionsmenge
• Nullstellen
• Schnittpunkte mit der Y-Achse
• Symmetrie Verhalten (Punkt- oder Achsen-Symetrie)
• Verhalten im Unendlichen (Grenzwert-Betrachtungen)
• Extremwerte (Hoch- und Tief-Punkte)
• Wendepunkte
• Graph der Funktion
• Monotonie Betrachtung (Steigend oder Fallend)
• Krümmungsverhalten
• Wertemenge

Mit den Methoden der Analysis lassen sich diese Eigenschaften bestimmen. Beispielsweise durch die Bestimmung der Ableitung, die Integration, Grenzwertbetrachtungen etc. Im folgenden Beitrag wird an einem Beispiel eine vollständige Kurvendiskussion durchgeführt und beispielhaft die Methodik erklärt, die sich dann auf beliebte andere Funktionen übertragen lässt. Das Beispiel soll folgende Funktion sein:

\begin{eqnarray} f(x) = x^4-x^3-3x^2+5x+2 \end{eqnarray}

Bestimmung der Definitionsmenge

Die Definitionsmenge gibt an, welche Werte (Zahlen) man in die Funktion (für das x) einsetzen darf. Alle diese Zahlen, die man für x einsetzen darf, sind dann die Definitionsmenge. Den Definitionsbereich einer Funktion oder eines Terms bestimmt man, indem man untersucht, ob einzelne Teile des (Funktions)terms für bestimmte Zahlenbereiche nicht definiert sind. Zahlen aus diesen Bereichen muss man aus der Definitionsmenge herausnehmen.
In unserem Beispiel finden wir keine Einschränkungen, somit kann die Definitionsmenge wie folgt angegeben werden:

$$D_f = \mathbb{R} $$

Das bedeutet, die Funktion ist für alle reellen Zahlen definiert !

Bestimmung der Nullstellen

Die Nullstellen einer Funktion f(x) sind die Stellen an denen f(x)=0 gilt. Oder geometrisch gesehen die Schnittpunkte des Graphen der Funktion f(x) mit der x-Achse. D.h. man bestimmt die Nullstellen einer Funktion dadurch das man sie gleich Null setzt und durch verschiedenste Verfahren, dann die x-Werte bestimmt, an denen die Bedingung erfüllt ist. Mögliche Verfahren sind hier die Mitternachtsformel, das Horner-Schema oder auch die Linearfaktor-Zerlegung. Manchmal muss man einfach auch mal durch systematisches Probieren eine erste Nullstelle ermitteln, um dann weiter zu rechnen. In unserem Beispiel kann man wie folgt vorgehen:

	 (* Definition von f[x] *)
	  f[x_] := x^4 - x^3 - 3 x^2 + 5 x - 2

	 (* Bestimmung der Nullstellen f[x] *)
	  Solve[f[x] == 0]
	  {{x -> -2}, {x -> 1}, {x -> 1}, {x -> 1}}
	

Bestimmung der Schnittpunkte mit der y-Achse

Die Schnittstelle mit der y–Achse ist der Punkt wo der Graph die y–Achse schneidet. Der x-Wert, an dem die Funktion die y–Achse schneidet, ist immer null. Daher lässt sich der y-Wert genau dadurch bestimmen, in dem der Wert x=0 in die Funktionsgleichung eingesetzt wird. Bitte nicht mit der Bestimmung der Nullstelle verwechseln, wo der Wert y=0 gesetzt wird. In unserem Beispiel setzten wir x=0 in f ein und bestimmen somit f(0):

     (* Schnittpunkt y-Achse *)
        f[0]
        -2
     

Untersuchung der Symmetrie Eigenschaften

Man unterscheidet zwei Arten von Symmetrie: Punktsymmetrie und Achsensymmetrie. Eine Funktion ist punktsymmetrisch, wenn es irgendeinen Punkt gibt, an dem man die Funktion derart spiegeln kann, dass als Spiegelbild wieder die gleiche Funktion rauskommt.

Eine Funktion ist dagegen achsensymmetrisch, wenn es eine Gerade [also eine Achse] gibt, an der man die Funktion derart spiegeln kann, dass als Spiegelbild wieder die gleiche Funktion rauskommt. Um herauszufinden ob eine Funktion symmetrisch ist gibt es zwei Formeln:

• Wenn $f(-x) = f(x)$ gilt, liegt eine Achsensymmetrie zur Y-Achse vor.
• Wenn $f(-x) = -f(x)$ gilt, liegt eine Punktsymetrie zum Ursprung vor.
• Wenn $f(-x) = -f(x)$ gilt, liegt eine Punktsymetrie zum Ursprung vor.

Es gibt allerdings auch bei der Symmetrie-Untersuchung ganzrationalen Funktionen einen Trick. Bei dieser Art von Funktionen schaut man sich nur die Hochzahlen der Variablen an. Gibt es nur gerade Hochzahlen, ist f(x) symmetrisch zur y-Achse. Ein Beispiel für so eine Funktion wäre: $ f(x) = 2 x^6 – 3 x^4 – 5 $

Gibt es nur ungerade Hochzahlen, ist f(x) symmetrisch zum Ursprung. Beispiel: $ f(x) = 2x^5 + 12x^3 – 2x $

Gibt es gemischte Hochzahlen, ist f(x) nicht symmetrisch. Beispiele: $f(x) = x^3 + 2 x^2 – 3x + 4 $

In unserem Beispiel handelt es sich um Polynom mit gemischten Hochzahlen, woraus wir ableiten können, dass keine Symmetrie vorliegt.

Verhalten im Unendlichen

Bei dieser Untersuchung prüft man wie sich die Funktion verhält, wenn die X-Werte gegen plus oder minus Unendlich gehen. Dabei kommt es immer auf den Faktor mit der größten Hochzahl an, da dieser das Verhalten am stärksten beeinflusst. In unserem Beispiel wäre das der Faktor $x^4$. Möchte man nun wissen, wie das Verhalten im Unendlichen aussieht, setzt man gedanklich eine ganz große negative und eine positive Zahl ein und erkennt, dass durch die geradzahlige Hochzahl in beiden Fällen $f(x) \to +\infty$ strebt.

	   (* Verhalten im Unendlichen von f[x] *)
	    f[x_] := x^4 - x^3 - 3 x^2 + 5 x - 2
	    f[10^9] -> 999999998999999997000000004999999998

	   (* Bestimmung mit Mathematica *)
	    Limit[f[x], x -> \[Infinity]]
	  

Bestimmung der Extrem-Werte und der Wendepunkte

Die Bestimmung der Extremwerte gehört zu den wichtigsten Untersuchungen. Als Extremwerte werden die Hochpunkte, Tiefpunkte und Sattelpunkte einer Funktion bezeichnet. Die Berechnung erfolgt immer nach dem geglichen Schema:

• Ist $f'(x) = 0$ so liegt ein Extremwert $x_e$ vor. um was für einen Extremwert es sich handelt ergibt die zweite Ableitung:
• Ist $f''(x_e) < 0$ liegt ein Hochpunkt vor.
• Ist $f''(x_e) > 0$ liegt ein Tiefpunkt vor.
• Ist $f''(x_e) = 0 $ steht Überprüfung für Sattelpunkt / Wendepunkt an.
• Ein Wendepunkt einer Funktion ist der Punkt, an dem der Funktionsgraph sein Krümmungsverhalten verändert. D.h. an diesem Punkt wechselt der Graph entweder von einer Rechts- in eine Linkskurve oder anders herum. Mathematisch lässt sich feststellen, ob ein Wendepunkt vorliegt, wenn $f''(x_e) = 0$ und $f'''(x_e) \not= 0$

Um also die Extremwerte und Wendepunkte zu bestimmen, müssen die drei Ableitungen berechnet werden, dann die Nullstellen der 2ten Ableitungen gebildet werden und schliesslich noch die 3te Ableitung gebildet werden, um herauszufinden, ob ein Wendepunkt vorliegt. In unserem Beispiel sieht das wie folgt aus:

	f[x_] := x^4 - x^3 - 3 x^2 + 5 x - 2
	f'[x]   ->  5 - 6 x - 3 x^2 + 4 x^3
	f''[x]  -> -6 - 6 x + 12 x^2
	f'''[x] -> -6 + 24 x

	Solve[f''[x] == 0]  -> {{x -> -(1/2)}, {x -> 1}}

	(*Einsetzen der 2 Werte in die 3te Ableitung*)
	f'''[x] /. %   -> {-18, 18}

  (*Alternativ händisch*)
	f'''[-1/2] -> -18
    f'''[1]->  18
	

Somit erhalten wir durch Einsetzen der gefundenen Nullstellen der zweiten Ableitung für f'''(1) = 18 und f'''(-0,5) = -18 woraus wir erkennen, dass an beiden Punkten ein Wendepunkt vorliegt, da das oben genannte Kriterium f’’(x) = 0 und f’’’(x) ≠ 0 erfüllt ist. Wir halten somit fest, es gibt 2 Wendepunkte: $$ WP_1 = [f(-0.5),-0.5)] = (-5.06 \;| -0.5) \qquad WP_2 =[f(1);1)] = (0 | 1) $$

Graph der Funktion

Hierzu bietet Mathematica vielfältige Möglichkeiten. Um sich nicht völlig auf das Computersystem zu verlassen starte ich persönlich immer mit einer klassischen Wertetabelle. Damit erkennt man schon einmal den groben Verlauf des Graphen. Anschliessend nutzt man die Plot-Funktionen, um eine graphsiche Darstellung zu erhalten. Die lässt sich sehr einfach mit Mathematica erzeugen:

	(*Funktionen definieren*)
  f[x_] := x^4 - x^3 - 3 x^2 + 5 x - 2
  f1[x_] := 5 - 6 x - 3 x^2 + 4 x^3   (*Erste Ableitung*)

  f2[x_] := -6 - 6 x + 12 x^2  (*Zweite Ableitung*)

  (*Wertebereich*)
  xWerte = Range[-2, 2, 0.5];

  (*Tabelle mit x-Werten und den Funktionswerten*)
  TableForm[
   Prepend[
    Table[{x, f[x], f1[x], f2[x]}, {x, xWerte}], {"x", "f(x)", "f'(x)",
     "f''(x)"}]]
	

Die Plot-Funktion von Mathematica bietet verschiedene Möglichkeiten den Graph darzustellen. Hier noch einmal die Bestimmung sämtlicher Werte, die sich auch im Funktionsgraph visualisieren lassen:

    (*Nullstellen*)nullstellen = x /. NSolve[f[x] == 0, x];

    (*Extremstellen:f'(x)=0*)
    extrema = x /. NSolve[D[f[x], x] == 0, x];

    (*Wendepunkte:f''(x)=0*)

    wendepunkte = x /. NSolve[D[f[x], {x, 2}] == 0, x];
    Plot[f[x], {x, -3.5, 3.5}, PlotStyle -> {Thick, Blue},
	AxesLabel -> {"x", "f(x)"}, PlotRange -> All, GridLines -> Automatic,
	 Frame -> True,
	Epilog -> {Red, PointSize[0.03],
	  Point[Table[{x, f[x]}, {x, nullstellen}]], Green, PointSize[0.03],
	  Point[Table[{x, f[x]}, {x, extrema}]], Orange, PointSize[0.03],
	  Point[Table[{x, f[x]}, {x, wendepunkte}]]},
	PlotLegends -> Placed[{"f(x)"}, Above]]
	

Mit etwas mehr Mathematica Code, lässt sich noch mehr darstellen. Insbesondere wenn es um die Umgebung der berechneten Punkte gehen soll. Hier ein Beispiel:

    (*Beispiel-Funktion*)f[x_] := x^4 - x^3 - 3 x^2 + 5 x - 2;

	(*Nullstellen*)
	nullstellen = x /. NSolve[f[x] == 0, x];

	(*Extremstellen*)
	extrema = x /. NSolve[D[f[x], x] == 0, x];

	(*Wendepunkte*)
	wendepunkte = x /. NSolve[D[f[x], {x, 2}] == 0, x];

	(*Hilfsfunktion zum Markieren von Punkten*)
	punkteGrafik[stellen_, farbe_] :=
	  Graphics[{farbe, PointSize[0.02], Point[{#, f[#]}] & /@ stellen}];

	(*Legendenfunktion*)
	legende =
	  SwatchLegend[{Blue, Red, Green, Orange}, {"f(x)", "Nullstelle",
	    "Extrem", "Wendepunkt"}];

	(*Plot 1:Gesamtübersicht*)
	plotGesamt =
	  Legended[
	   Show[Plot[f[x], {x, -3.5, 3.5}, PlotStyle -> {Thick, Blue},
		AxesLabel -> {"x", "f(x)"}, GridLines -> Automatic,
		Frame -> True], punkteGrafik[nullstellen, Red],
	    punkteGrafik[extrema, Green], punkteGrafik[wendepunkte, Orange]],
	   legende];

	(*Plot 2:Zoom auf Extremstellen*)
	xExtremaMin = Min[extrema] - 0.5;
	xExtremaMax = Max[extrema] + 0.5;
	plotExtrema =
	  Show[Plot[f[x], {x, xExtremaMin, xExtremaMax},
	    PlotStyle -> {Thick, Blue}, AxesLabel -> {"x", "f(x)"},
	    Frame -> True], punkteGrafik[extrema, Green]];

	(*Plot 3:Zoom auf Wendepunkte*)
	xWendeMin = Min[wendepunkte] - 0.5;
	xWendeMax = Max[wendepunkte] + 0.5;
	plotWendepunkte =
	  Show[Plot[f[x], {x, xWendeMin, xWendeMax},
	    PlotStyle -> {Thick, Blue}, AxesLabel -> {"x", "f(x)"},
	    Frame -> True], punkteGrafik[wendepunkte, Orange]];

	(*Alle untereinander anzeigen*)
	GraphicsGrid[{{plotGesamt}, \
	{plotExtrema}, {plotWendepunkte}}, Spacings -> 2]
	

Monotonie Verhalten

Das Monotonieverhalten einer Funktion gibt an, in welchem Bereich der Graph der Funktion steigt oder fällt. Daher ist das Monotonieverhalten wie folgt definiert: Die Funktion f ist streng monoton steigend, wenn $f'(x) > 0$ gilt. Die Funktion $f$ ist streng monoton fallend, wenn $f'(x) < 0$ gilt.

Wichtig ist hierbei, dass Monotonie nur für die Teile des Definitionsbereiches betrachtet wird, in dem die Funktion stetig ist. Wenn bei einer Funktion Unterbrechungen existieren gibt es an diesen Stellen keine Monotonie. Daher ist es wichtig den Definitionsbereich der Funktion zu kennen. In unserem Beispiel ist $f'(x) = 4x^3-3x^2-6x+5$ die in orange eingezeichnete Kurve. Um das Monotonie Verhalten von f(x) (der rot eingezeichneten Kurve) zu bestimmen, erstellt man am einfachsten eine Wertetabelle und zeichnet beide Funktionen in ein Diagramm.

Man erkennt am Verlauf sehr gut, in welchen Bereichen der Wert von f'(x) kleiner Null ist und somit deutlich wird, dass f(x) monoton fallend ist. Im obigen Beispiel ist f´(x) im Intervall $ [- \infty \to -5/4]$ kleiner Null, somit hat die Ausgangsfunktion f(x) hier ein monoton fallendes Verhalten. Was man am Verlauf des Graphen (in rot dargestellt) sehr gut erkennen kann. Ebenso erkennt man, wo der Wert von f'(x) (grüne gestrichelte Darstellung) größer Null ist, was gleichbedeutend damit ist, dass die Ausgangsfunktion f(x) monoton steigend ist.

Krümmungsverhalten

Beim Krümmungsverhalten in der Mathematik untersucht man, ob eine Funktion linksgekrümmt oder rechtsgekrümmt ist. In manchmal Fällen kann eine Funktion beide Krümmungen aufweisen. Die Untersuchung kann über die zweite Ableitung durchgeführt werden. Bei der Rechtskrümmung ist die zweite Ableitung an der Stelle x kleiner Null: $f''(x) < 0$. Die Rechtskrümmung wird auch als konkav bezeichnet.
Bei der Linkskrümmung ist die zweite Ableitung an der Stelle x größer als Null: $f''(x) > 0$. Die Linkskrümmung wird auch als konvex bezeichnet.

Dazu zeichnet man sich am einfachsten die 2. Ableitung zusammen mit dem Funktionsgraphen in ein Diagramm, um dadurch ablesen zu können, wie sich die Krümmung verhält. Im obigen Beispiel erkennt man, dass die 2. Ableitung zwischen den beiden Nullstellen negativ ist d.h. eine Rechtskrümmung vorliegt, in allen anderen Bereichen dagegen positiv und somit eine Linkskrümmung aufweist.

Wertemenge Bestimmen

Die Wertemenge gibt an, welche Werte für f(x) rauskommen können, wenn man jede Zahl aus der Definitionsmenge in die Funktion (als x-Werte) eingesetzt hat. Hier muss man also auf Wissen über die Zahlenmengen (Ganze Zahlen, Natürliche Zahlen, etc) zurück greifen. In unserem Beispiel entspricht der Wertebereich der Menge der Reellen Zahlen. Geschrieben in Mengenschreibweise sieht das Ergebnis dann so aus: $$\mathbb{W} = \mathbb{R}$$

Alle die noch ohne die heutigen Computer-Technik in der Schule und im Studium Kurvendiskussion gemacht haben, wundern sich bestimmt, wozu das alles gut war. Leider wurde früher viel zu oft, der Fokus auf die Bestimmung der Ableitungen gelegt und weniger auf die Diskussion der Kurve. Also den Versuch zu verstehen welchen Sachverhalt die zu diskutierende Funktion beschreibt und welche Schlüsse daraus gezogen werden können. Also die Brücke in die Anwenndung geschlagen wird. Mit den heutigen Mitteln ist dies nun sehr viel leichter möglich, da man die Bestimmung der Ableitungen nun maschinell durchführen kann.